Question

1．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$與一次函數(shù)y=k₂x+b圖象的交點(diǎn)為A（m，1），B（-2，n），OA與x軸正方向的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{4}$．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式； 
（2）設(shè)直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)C，且AC與x軸正方向的夾角為β，求tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)tanα=$\frac{1}{4}$可得出m的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)B（-2，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)y=k₂x+b即可得出其解析式；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由A點(diǎn)坐標(biāo)可得出AE的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵tan∠AOE=tanα=$\frac{1}{4}$，
∴OE=4AE．
∵A（m，1），
∴AE=1，
∴OE=4，
∴A（4，1）．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象上，
∴k₁=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
∵B（-2，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴n=2，
∴B（-2，-2）．
將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)y=k₂x+b得，
$\left\{\begin{array}{l}4{k}_{2}+b=1\\-2{k}_{2}+b=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k}_{2}=\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1．

（2）∵直線(xiàn)AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，令y=0，則x=2，
∴C（2，0）．
∵A（4，1），
∴CE=2，AE=1，
∴tanβ=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．