Question

【題目】如圖，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在射線(xiàn)OC上．點(diǎn)E在射線(xiàn)OA上，點(diǎn)F在射線(xiàn)OB上，且∠EPF＝90°．

（1）如圖1，求證：PE＝PF；

（2）如圖2，作點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)EP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，過(guò)F′點(diǎn)作FH⊥OF于H，連接EF′，F′H與EP交于點(diǎn)M．連接FM，圖中與∠EFM相等的角共有　 　個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4.

【解析】

（1）過(guò)P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，判定△PEH≌△PFG（AAS），即可得出PE＝PF；

（2）依據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到與∠EFM相等的角．

解：（1）如圖1，過(guò)P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，則∠PGF＝∠PHE＝90°，

∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，

∴PH＝PG，

∵∠AOB＝∠EPF＝90°，

∴∠PFG+∠PEO＝180°，

又∵∠PEH+∠PEO＝180°，

∴∠PEH＝∠PFG，

∴△PEH≌△PFG（AAS），

∴PE＝PF；

（2）由軸對(duì)稱(chēng)可得，∠EFM＝∠EF′M，

∵F′H⊥OF，AO⊥OB，

∴AO∥F′F，

∴∠EF′M＝∠AEF′，

∵∠AEF′+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，

∴∠AEF′＝∠OFE，

由題可得，P是FF′的中點(diǎn)，EF＝EF′，

∴EP平分∠FEF′，

∵PE＝PF，∠EPF＝90°，

∴∠PEF＝45°＝∠PEF′，

又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，

∴∠AEF′+45°＝45°+∠OPE，

∴∠AEF′＝∠OPE，

∴與∠EFM相等的角有4個(gè)：∠EF′M，∠AEF′，∠EFO，∠EPO．

故答案為：4．