Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過O作弦AC的垂線，交⊙O于點D，分別交AE、AC于點E、點F，已知∠BDC=∠E．
（1）判斷AE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AE=10，sin∠BDC=

3

5

，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）判定切線時判定AE⊥AB即可；
（2）利用銳角三角函數(shù)的定義求得AF的長，然后利用垂徑定理的知識得到AC=2AF即可求解．

解答：（1）證明：∵∠BDC=∠E（已知），∠BDC=∠CAB
∴∠E=∠CAB，
∵EF⊥AC于點F，即∠AFE=90°
∴∠E+∠EAF=90°
∴∠CAB+∠EAF=90°，
即AE⊥AB，且AB是圓的直徑
∴AE是圓O的切線；

（2）解：∵∠E=∠BDC，
∴sin∠E=sin∠BDC=

3

5

∴Rt△AEF中，sin∠E=

AF

AE

，且AE=10
∴AF=6，
∵OF⊥AC于點F，
∴AC=2AF=12（垂徑定理）．

點評：本題考查了切線的判定等知識，綜合性較強，但難度不是很大．