Question

如圖，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數y=圖象的兩支上，且PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，AB分別與x軸，y軸相交于點E、F．已知B（1，3）．

（1）k= ；

（2）試說明AE=BF；

（3）當四邊形ABCD的面積為時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）3；（2）證明見解析；（3）（1，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=3；

（2）設A點坐標為（a，），易得D點坐標為（0，），P點坐標為（1，），C點坐標為（1，0），根據圖形與坐標的關系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，則可計算出，加上∠CPD=∠BPA，根據相似的判定得到△PCD∽△PBA，則∠PCD=∠PBA，于是判斷CD∥BA，根據平行四邊形的判定方法易得四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形，所以BE=CD，AF=CD，則BE=AF，于是有AE=BF；

（3）利用四邊形ABCD的面積=S△PAB﹣S△PCD，和三角形面積公式得到（3﹣）（1﹣a）﹣1（﹣）=，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再寫出P點坐標．

試題解析：（1）把B（1，3）代入y=得k=1×3=3；

（2）反比例函數解析式為y=，

設A點坐標為（a，），

∵PB⊥x于點C，PA⊥y于點D，

∴D點坐標為（0，），P點坐標為（1，），C點坐標為（1，0），

∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，

∴，，

∴，

而∠CPD=∠BPA，

∴△PCD∽△PBA，

∴∠PCD=∠PBA，

∴CD∥BA，

而BC∥DE，AD∥FC，

∴四邊形BCDE、ADCF都是平行四邊形，

∴BE=CD，AF=CD，

∴BE=AF，

∴AF+EF=BE+EF，

即AE=BF；

（3）∵四邊形ABCD的面積=S△PAB﹣S△PCD，

∴（3﹣）（1﹣a）﹣1（﹣）=，

整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=﹣，

∴P點坐標為（1，﹣2）．

考點：反比例函數綜合題．