Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程-x²+（m+4）x-4m=0，其中0＜m＜4．
（1）求此方程的兩個實數(shù)根（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)拋物線y=-x²+（m+4）x-4m與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），若點D的坐標(biāo)為（0，-2），且AD•BD=10，求拋物線的解析式；
（3）已知點E（a，y₁）、F（2a，y₂）、G（3a，y₃）都在（2）中的拋物線上，是否存在含有y₁、y₂、y₃，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試寫出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）將原方程整理，得x²-（m+4）x+4m=0，
△=b²-4ac=[-（m+4）]²-4（4m）=m²-8m+16=（m-4）²＞0
∴；
∴x=m或x=4；

（2）由（1）知，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的交點分別為（m，0）、（4，0），
∵A在B的左側(cè)，0＜m＜4，
∴A（m，0），B（4，0）．
則AD²=OA²+OD²=m²+2²=m²+4，BD²=OB²+OD²=4²+2²=20；
∵AD•BD=10，
∴AD²•BD²=100；
∴20（m²+4）=100；
解得m=±1；
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴b=m+1=5，c=-4m=-4；
∴拋物線的解析式為y=-x²+5x-4；

（3）答：存在含有y₁、y₂、y₃，且與a無關(guān)的等式，
如：y₃=-3（y₁-y₂）-4（答案不唯一）；
證明：由題意可得y₁=-a²+5a-4，y₂=-4a²+10a-4，y₃=-9a²+15a-4；
∵左邊=y₃=-9a²+15a-4；
右邊=-3（y₁-y₂）-4=-3[（-a²+5a-4）-（-4a²+10a-4）]-4
=-9a²+15a-4；
∴左邊=右邊；
∴y₃=-3（y₁-y₂）-4成立．
分析：（1）在△≥0的前提下，用求根公式進行計算即可．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可得出A、B的坐標(biāo)，然后求出AD、BD的長，代入AD•DB=10中，即可求得m的值，也就得出了拋物線的解析式．
（2）分別將E、F、G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出含a的y₁、y₂、y₃的表達式，進而判斷出y₁、y₂、y₃的等量關(guān)系．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點的求法、二次函數(shù)解析式的確定等知識．