Question

13．如圖，點A在x軸正半軸上，點B（4，m）在直線$y=\frac{1}{2}x$上，∠OBA=90°，BE∥x軸，交y軸于點E，C為OB中點，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$圖象的一支經(jīng)過點C，且與直線BE交于點D．
（1）k=2，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+10；
（2）連結(jié)DC并延長，交x軸于點F，連結(jié)OD、BF，試判斷四邊形OFBD的形狀并說明理由；
（3）M為直線AB上一點，若△BCM與△BOA相似，寫出M點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將B（4，m）代入直線y=$\frac{1}{2}$x，求得m的值，從而可求得點C的坐標(biāo)，將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求得k的值，由相互垂直的兩條直線的一次項系數(shù)的乘積為-1可求得直線AB的一次項系數(shù)，然后由點B的坐標(biāo)可求得AB的解析式；
（2）由題意可知BD∥OF，由平行線分線段成比例定理可知DC=CF，然后依據(jù)平行四邊形的判定定理可知四邊形OFBD為平行四邊形；
（3）CM∥OA或$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{BM}$時，△OBA∽△MBC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得點M的坐標(biāo)，然后做出點M關(guān)于OB的對稱點M′，由軸對稱的性質(zhì)可知△CBM′≌△BCM，故此△CBM′∽△OBA，然后依據(jù)中點坐標(biāo)公式可求得點M′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將B（4，m）代入直線$y=\frac{1}{2}x$得：m=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴B（4，2）．
∵C為OB中點，
∴C（2，1）．
∵將C（2，1），代入$y=\frac{k}{x}$得：k=xy=2．
∴k=2．
∵∠OBA=90°，
∴直線AB的一次項系數(shù)為-2．
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=-2x+b，
∵將點B（4，2）代入得；-2×4+b=2，解得b=10，
∴直線AB的解析式為y=-2x+10．
故答案為：2；y=-2x+10．
（2）四邊形OFBD為平行四邊形．
理由如下：
∵BD∥OF，OC=CB，
∴FC=CD
∴四邊形OFBD為平行四邊形．
∵B（4，2），D（1，2），E（0，2），
∴BD=3，OE=2，ED=1．
∴OD=$\sqrt{D{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴BD≠OD．
∴四邊形OFBD不是菱形．
∵∠DOF≠90°，
∴四邊形OFBD不是矩形．
∴四邊形OFBD只是平行四邊形．
（3）∵當(dāng)-2x+10=0時，x=5，
∴點A的坐標(biāo)為（5，0）．
如圖1所示：當(dāng)CM∥OA時．

∵CM∥OA，BC=OC，
∴CM=$\frac{1}{2}$OA=2.5．
∵點C的坐標(biāo)為（2，1），
∴點M的坐標(biāo)為（4.5，1）．
作點M關(guān)于直線OB的對稱點M′．
∵∠OBA=90°，
∴點M′在直線AB上，且點B為MM′的中點．
∵點M與點M′關(guān)于OB對稱，
∴△CBM′≌△BCM．
∴△CBM′∽△OBA．
設(shè)M′（x，y）．
∵B為MM′的中點，
∴$\frac{4.5+x}{2}$=4，$\frac{y+1}{2}$=2．
∴x=3.5，y=3．
∴點M′的坐標(biāo)為（3.5，3）．
如圖2所示：

∵B（4，2）、C（2，1）、（5，0），
∴BC=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（5-4）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵∠OBA=∠CBM，
∴當(dāng)$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{BM}$時，△OBA∽△MBC．
∴$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{BM}$，解得MB=2$\sqrt{5}$．
∴A是BM的中點．
設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）則$\frac{x+4}{2}$=5，$\frac{y+2}{2}$=0．
解得：x=6，y=-2．
∴點M的坐標(biāo)為（6，-2）．
作點M關(guān)于直線OB的對稱點M′．
∵∠OBA=90°，
∴點M′在直線AB上，且點B為MM′的中點．
∵點M與點M′關(guān)于OB對稱，
∴△CBM′≌△BCM．
∴△CBM′∽△OBA．
設(shè)M′（x，y）．
∵B為MM′的中點，
∴$\frac{x+6}{2}$=4，$\frac{y+（-2）}{2}$=2．
∴x=2，y=6．
∴點M′的坐標(biāo)為（2，6）．
綜上所述，點M的坐標(biāo)為（4.5，1）或（3.5，3）或（6，-2）或（2，6）．

點評 本題主要考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定、線段中點坐標(biāo)公式，利用軸對稱圖形的性質(zhì)和線段中點坐標(biāo)公式求得點M′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．