Question

如圖1，菱形ABCD中，∠A=30°，邊長(zhǎng)AB=10cm，在對(duì)稱中心O處有一釘子．動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿2方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止．P，Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋連接，設(shè)t秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為ycm²．
（1）當(dāng)t=3時(shí)，求橡皮筋掃過(guò)的面積；
（2）如圖2，當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求t值；
（3）求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)P作PM⊥AD，當(dāng)t=3時(shí)，AP=6，AQ=3，由直角三角形的性質(zhì)求出PM的值，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論．
（2）連結(jié)BD，由菱形的性質(zhì)可以得出△BOP≌△DOQ就可以得出S_{四邊形ABPQ}=S_△ABD，根據(jù)面積相等建立方程求出其解即可；
（3）如圖1，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，作PM⊥AD于M，AP=2t，AQ=t，PM=t，由三角形的面積公式表示出y與t之間的關(guān)系式；如圖2，當(dāng)5＜t≤10時(shí)，作PM⊥AD于M，AP=2t-10，PM=5，由梯形的面積公式就可以表示出由y與t的關(guān)系式；如圖3，當(dāng)

20

3

＜t≤10時(shí)，作OE∥AD，BP=2t-10，AQ=t，OE=5，y=S_{四邊形BEOP}+S_{四邊形AQOE}就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，AP=6，AQ=3，過(guò)P作PM⊥AD，
∴∠AMP=90°．
∵∠A=30°，
∴PM=

1

2

AP=3，
∴S_△APQ=

1

2

×3×3=

9

2

．
答：當(dāng)t=3時(shí)，求橡皮筋掃過(guò)的面積為

9

2

；

（2）連結(jié)BD，
∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)稱中心，
∴BO=DO，BC∥AD，
∴∠BPO=∠DQO，∠PBO=∠QDO．
在△BOP和△DOQ中，

∠BPO=∠DQO ∠PBO=∠QDO BO=DO

，
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴BP=DQ，S_△BOP=S_△DOQ，
∴S_{四邊形ABPQ}=S_△ABD．
作BM⊥AD于M，
∴∠AMB=90°．
∵∠A=30°，
∴BM=

1

2

AB．
∵AB=10cm，
∴BM=5cm，
∴

5(2t-10+t)

2

=

1

2

×10×5，
解得：t=

20

3

（3）如圖1，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，作PM⊥AD于M，AP=2t，AQ=t，PM=t，
y=

1

2

AP．PM=

1

2

t²                              
如圖2，當(dāng)5＜t≤

20

3

時(shí)，作PM⊥AD于M，AP=2t-10，AQ=t，PM=5，
y=

(2t-10+t)×5

2

=

15

2

t-25，
如圖3，當(dāng)

20

3

＜t≤10時(shí)，作OE∥AD．BP=2t-10，AQ=t，OE=5，
y=S_{四邊形BEOP}+S_{四邊形AQOE}=

5+2t-10

2

×

5

2

+

5+t

2

×

5

2

=

15

4

t．
∴y=

1 2 t2(0≤t≤5) 15 2 t-25(5＜t≤ 20 3 ) 15 4 t( 20 3 ＜t≤10)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用四邊形的面積公式求解是關(guān)鍵．