Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰△OAD的底邊OA在x軸上，頂點(diǎn)D（2，-4a）（a≠0），拋物線y=a²+bx+c經(jīng)過(guò)O，A，D三點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，且翻折后的劣弧所在圓的圓心在⊙D上．求⊙D的半徑長(zhǎng)和拋物線的解析式．
（3）設(shè)點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得∠POA=

3

4

∠OBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，故拋物線的解析式為y=a（x-2）²-4a=ax²-4ax（a≠0），再把y=0代入即可得出x的值，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2））當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為OmA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在圓與⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)它的圓心為D′，由OD=DD′=OD′可知△ODD′為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠DOA的度數(shù)及OM的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義求出a的值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式；
當(dāng)a＜0時(shí)，同理可得DM與OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=

3

6

x²-

2 3

3

x上時(shí)，根據(jù)點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理可知∠OBA=

1

2

∠ADO，由圓心角、弧的關(guān)系可得∠POA的度數(shù)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，由銳角三角函數(shù)的定義可求出tan∠POE的度數(shù)，故y=x，再聯(lián)立y=x與拋物線的解析式可得出x、y的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x上時(shí)，同理可得y=x，再聯(lián)立y=x與拋物線的解析式可得出x、y的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴拋物線的解析式為y=a（x-2）²-4a=ax²-4ax（a≠0），
當(dāng)y=0時(shí)，0=ax²-4ax，
解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0）； 

（2）①當(dāng)a＞0時(shí)．
如圖1，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為OmA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在圓與⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)它的圓心為D′．
∴點(diǎn)D′與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱
∴DD′⊥OA，
∵點(diǎn)O在⊙D′上，且點(diǎn)D′在⊙D上
∴OD=DD′=OD′，
∴△ODD′為等邊三角形，
∴∠DOD′=60°，
∵DD′⊥OA，OD=AD，
∴∠DOA=

1

2

∠DOD′=

1

2

×60°=30°，OM=

1

2

OA=

1

2

×4=2，
設(shè)DD′與x軸的交點(diǎn)為M，即∠DOM=30°，
∴DM=OM•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，OD=2DM=

4 3

3

，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-

2 3

3

，
∴-4a=-

2 3

3

，
∴a=

3

6

，
∴拋物線的解析式為y=

3

6

x²-

2 3

3

x，
②當(dāng)a＜0時(shí)．
同理可得DM=

2 3

3

，OD=

4 3

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

6

x²+

2 3

3

x，
綜上，⊙D的半徑長(zhǎng)為

4 3

3

，
拋物線的解析式為y=

3

6

x²-

2 3

3

x或y=-

3

6

x²+

2 3

3

x；

（3）拋物線x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得∠POA=

3

4

∠OBA，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0
①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=

3

6

x²-

2 3

3

x上時(shí)，如圖．
∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)，
∴∠OBA=

1

2

∠ADO，
∵∠ADO=60°×2=120°，
∴∠OBA=60°，
∴∠POA=

3

4

∠OBA=45°，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴tan∠POE=

EP

OE

，
∴

y

x

=tan45°，
∴y=x，
由

y=x y= 3 6 x2- 2 3 3 x

解得

x1=4+2 3 y1=4+2 3

或

x2=0 y2=0

（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+2

3

，4+2

3

）；
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y=-

3

6

x²+

2 3

3

x上時(shí)．
同理可得y=x，
則

y=x y=- 3 6 x2+ 2 3 3 x

，
解得

x1=4-2 3 y1=4-2 3

，

x2=0 y2=0

（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-2

3

，4-2

3

）．
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4+2

3

，4+2

3

）或（4-2

3

，4-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．