Question

11．若設(shè)分式$\frac{x}{x-1}$的值為y，則有y=$\frac{x}{x-1}$
（1）分別求當(dāng)x=2及x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y的值；
（2）當(dāng)x=a時(shí)，y=c；x=b時(shí)，y=d，若c+d=1，求證：ab=1；
（3）求代數(shù)式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+（1-x）（1-y）的值；
（4）設(shè)m=$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}-2}{2}$，n=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}-2}$，其中y₁、y₂分別是分式$\frac{x}{x-1}$中的x取x₁、x₂（x₂＞x₁＞1）時(shí)所對應(yīng)的值，試判斷m、n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別把x=2和x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{x}{x-1}$中求出對應(yīng)y的值即可；
（2）根據(jù)題意得$\frac{a}{a-1}$+$\frac{b-1}$=1，然后去分母整理即可得到結(jié)論；
（3）把y=$\frac{x}{x-1}$代入原式，然后進(jìn)行分式的混合運(yùn)算和得到原式的值；
（4）先化簡m得m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，再計(jì)算m-n得到m-n=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$，然后利用x₂＞x₁＞1可判斷m-n＞0，從而得到m與n的大�。�

解答 （1）解：當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{2}{2-1}$=2；當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}$=-1；
（2）證明：因?yàn)楫?dāng)x=a時(shí)，y=c；x=b時(shí)，y=d，
所以c=$\frac{a}{a-1}$，d=$\frac{b-1}$，
而c+d=1，
所以$\frac{a}{a-1}$+$\frac{b-1}$=1，
即a（b-1）+b（a-1）=（a-1）（b-1），
ab-a+ab-b=ab-a-b+1，
所以ab=1；
（3）解：原式=$\frac{1}{x}$+$\frac{x-1}{x}$+（1-x）（1-$\frac{x}{x-1}$）
=$\frac{1+x-1}{x}$+（1-x）$\frac{x-1-x}{x-1}$
=1+1
=2；
（4）解：m=$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}-2}{2}$=$\frac{{x}_{1}（{x}_{2}-1）+{x}_{2}（{x}_{1}-1）-2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
m-n=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）^{2}-4（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$，
因?yàn)閤₂＞x₁＞1，
所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁+x₂-2＞0，
而（x₁-x₂）²＞0，
∴m-n＞0，
即m＞n．

點(diǎn)評 本題考查了分式的混合運(yùn)算：先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，然后進(jìn)行分式的加減運(yùn)算．利用求差法比較大小是解決（4）小題的關(guān)鍵．