Question

【題目】一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12cm（如圖1），點(diǎn)G為邊BC（EF）的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，此時(shí)線段BH的長(zhǎng)是_____．現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)（如圖2），在∠CGF從0°到60°的變化過(guò)程中，點(diǎn)H相應(yīng)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)共為_____．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（12﹣12）cm （12﹣18）cm

【解析】

如圖1中，作于，設(shè)．在中，，，根據(jù)，可得，推出，推出．如圖2中，當(dāng)時(shí)，易證，此時(shí)的值最小，易知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，與重合，易知，觀察圖象可知，在從到的變化過(guò)程中，點(diǎn)相應(yīng)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)，由此即可解決問(wèn)題．

解：如圖1中，作HM⊥BC于M，設(shè)HM＝a，則CM＝HM＝a．

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，

在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝a，

∵BM+FM＝BC，

∴a+a＝12，

∴a＝6﹣6，

∴BH＝2a＝12﹣12．

如圖2中，當(dāng)DG⊥AB時(shí)，易證GH1⊥DF，此時(shí)BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH1＝3+3，

∴HH1＝BH﹣BH1＝9﹣15，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，F與H2重合，易知BH2＝6，

觀察圖象可知，在∠CGF從0°到60°的變化過(guò)程中，點(diǎn)H相應(yīng)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)＝2HH1+HH2＝18﹣30+[6﹣（12﹣12）]＝12﹣18．

故答案為（12﹣12）cm，（12﹣18）cm．