Question

如圖，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB落在上，CD經(jīng)過點(diǎn)E（0，2），F(xiàn)（2，0），線段AD被y軸垂直平分，S_梯形ABCD=8S_△EOA，則k=________．

Answer 1

8
分析：△OEF是等腰直角三角形，則E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱，則A，B關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以證得四邊形AEFB是矩形，設(shè)AM=x，則AE=DE=CF=x，ME=x，CD=2x+2．根據(jù)S_梯形ABCD=8S_△EOA，即可求得x的值，則A的坐標(biāo)即可求得，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得k的值．
解答：解：連接AE，BF．
∵點(diǎn)E（0，2），F(xiàn)（2，0），
∴OE=OF=2，即△OEF是等腰直角三角形，且EF=2．
則E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱，
又∵A，B在y=上，且AB∥DC，
∴A，B關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱．
∴∠OEF=45°，
∴∠DEM=45°，
∵M(jìn)E⊥AD，
∴∠D=90°-∠DEM=45°，
∵線段AD被y軸垂直平分，
∴∠DAE=∠D=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DC，
∵E，F(xiàn)關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱，A，B關(guān)于第一象限的角平分線對(duì)稱，
∴四邊形AEFB是矩形．AB=EF=2．
設(shè)AM=x，則AE=DE=CF=x，ME=x，CD=2x+2．
S_梯形ADCB=（AB+CD）•AE=（2+2x+2）•x=（4+2x）x．
S△OEA=OE•AM=×2x=x．
∵S_梯形ABCD=8S_△EOA，
∴（4+2x）x=8x，解得：x=2，
則ME=2，OM=ME+OE=2+2=4，
則A的坐標(biāo)是（2，4），代入y=，得：k=8．
故答案是：8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的對(duì)稱性，以及垂直平分線的性質(zhì)，正確證得四邊形AEFB是矩形是關(guān)鍵．