Question

設(shè)x，y是非負(fù)整數(shù)，x+2y是5的倍數(shù)，x+y是3的倍數(shù)，且2x+y≥99，則7x+5y的最小值是

366

．

Answer 1

分析：根據(jù)x+2y是5的倍數(shù)，x+y是3的倍數(shù)可設(shè)x+2y=5A，x+y=3B，用A、B表示出x、y，把x、y的值代入7x+5y中，把原題化為在整數(shù)A，B≥0，6B≥5A≥3B，9B≥5A+99，求S的最小值，由B的取值范圍即可求出S的最小值．

解答：解：設(shè)x+2y=5A，x+y=3B，A，B是整數(shù)，
∵x，y≥0，
∴A，B≥0，解得x=6B-5A，y=5A+3B，2x+y=9B-5A≥99，S=7x+5y=27B-10A，
∴題目變?yōu)椋涸谡麛?shù)A，B≥0，6B≥5A≥3B，9B≥5A+99，求S的最小值，
∵15A≥9B≥99+5A，
∴10A≥99，A≥10，
∴9B≥50+99=149，B≥17，
∴5A≥51，A≥11，進(jìn)而9B≥55+99=154，B≥18，
若B≥19，則S=9B+2（9B-5A）≥9×19+2×99=369，
若B=18，則5A≤9B-99=63，A≤12，A只能為12或11，
其中A=12使S=27×18-10×12=366取最小值，且為唯一的情形，（此時(shí)x=48，y=6），
∴7x+5y的最小值=7×48+5×6=366．
故答案為：366．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)的整除性問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是原題化為在整數(shù)A，B≥0，6B≥5A≥3B，9B≥5A+99，求S的最小值的形式．