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20.如圖,在△ABC中,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G,且D是BC中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,交AC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)若CF=3,cosA=25,求出⊙O的半徑和BE的長;
(3)連接CG,在(2)的條件下,求CGEF的值.

分析 (1)首先連接OD,由D是BC中點(diǎn),OC=OA,易得OD是△ABC的中位線,可得OD∥AB,又由DE⊥AB,可得DE⊥OD,即可證得直線EF是⊙O的切線;
(2)由OD∥AB,易得∠COD=∠A,又由CF=3,cosA=25,設(shè)⊙O的半徑為R,可得RR+3=25,則可求得⊙O的半徑,則可求得AB的長,繼而求得答案;
(3)首先連接CG,易證得CG∥EF,然后由平行線分線段成比例定理,求得答案.

解答 (1)證明:如圖,連結(jié)OD.
∵CD=DB,CO=OA,
∴OD∥AB,
∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,即OD⊥EF,
∴直線EF是⊙O的切線;

(2)解:∵OD∥AB,
∴∠COD=∠A.
在Rt△DOF中,
∵∠ODF=90°,
∴cos∠FOD=ODOF=25,
設(shè)⊙O的半徑為R,則RR+3=25,
解得R=2,
∴AB=2OD=4.
在Rt△AEF中,∵∠AEF=90°,
∴cos∠A=AEAF=AE4+3=25,
∴AE=145,
∴BE=AB-AE=4-145=65;

(3)解:連接CG,則∠AGC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠AEF=90°,
∴CG∥EF,
CGEF=ACAF=2R2R+CF=2×22×2+3=47

點(diǎn)評 此題屬于圓的綜合題.考查了切線的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及三角函數(shù)等知識.注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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8.提出問題:
  (1)如圖1,將長方形紙片剪兩刀,其中AB∥CD,則∠2與∠1、∠3度數(shù)之間有何等量關(guān)系?請說明你的理由.
類比探究:
  (2)如圖②,將長方形紙片剪四刀,其中AB∥CD,則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度數(shù)之間的等量關(guān)系為是∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
綜合應(yīng)用
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  (4)如圖④,直線AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=55°,則∠BED=110°.

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15.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合,以BP為邊在BC上方作正方形BPEF,設(shè)正方形BPEF與△ABC的重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(秒).
(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC的長;
(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段AC上時,求t的值;
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為O,點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為C′,以O(shè)C′為邊在BC上方作正方形OC′MN,當(dāng)正方形OC′MN與△ACD重疊部分圖形為三角形時,直接寫出t的取值范圍.

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5.如圖1,AB為⊙O的直徑,TA為⊙O的切線,BT交⊙O于點(diǎn)D,TO交⊙O于點(diǎn)C、E.
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(2)在(1)的條件下,求tan∠BDE的值;
(3)如圖2,若BDTD=43,且⊙O的半徑r=7,則圖中陰影部分的面積為\frac{7π}{6}+\frac{7\sqrt{3}}{4}

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