Question

若二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁的圖象記為C₁，其頂點(diǎn)為A，二次函數(shù)y=a₂x²+b₂x+c₂的圖象記為C₂，其頂點(diǎn)為B，且滿足點(diǎn)A在C₂上，點(diǎn)B在C₁上，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“伴侶二次函數(shù)”．
（1）一個(gè)二次函數(shù)的“伴侶二次函數(shù)”有

 

個(gè)；
（2）①求二次函數(shù)y=x²+3x+2與x軸的交點(diǎn)；
②求以上述交點(diǎn)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y=x²+3x+2的“伴侶二次函數(shù)”．
（3）試探究a₁與a₂滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)伴侶二次函數(shù)的定義，可得答案；
（2）①根據(jù)函數(shù)值為0，可得函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，可得答案；②根據(jù)伴侶二次函數(shù)的定義，頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得伴侶二次函數(shù)；
（3）根據(jù)伴侶二次函數(shù)的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上，二元一次方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）無數(shù)；                                                          
（2）①令y=0，即x²+3x+2=0．
解得：x₁=-1，x₂=-2．
∴二次函數(shù)y=x²+3x+2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（-1，0）．  （3分）
②∵y=x²+3x+2=（x+

3

2

）²-

1

4

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

1

4

）．
設(shè)以（-2，0）為頂點(diǎn)且經(jīng)過（-

3

2

，-

1

4

）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為
y=a（x+2）²，
將x=-

3

2

，y=-

1

4

代入y=a（x+2）²得 a=-1．
∴二次函數(shù)y=x²+3x+2的一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”為
y=-（x+2）²=-x²-4x-4，
同理可求以（-1，0）為頂點(diǎn)且經(jīng)過（-

3

2

，-

1

4

）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
即二次函數(shù)y=x²+3x+2的另一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”為
y=-（x+1）²=-x²-2x-1；                                       
（3）設(shè)y=a₁（x+m）²+n，其頂點(diǎn)為（-m，n）；
y=a₂（x+h）²+k，其頂點(diǎn)為（-h，k）．
根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”定義可得

k=a1(-h+m)2+n n=a2(-m+h)2+k

∴a₁（-h+m）²=-a₂（-m+h）²．
當(dāng)-h≠m時(shí)，a₁=-a₂
當(dāng)-h=m時(shí)，a₁、a₂為任意不為零的實(shí)數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，伴侶二次函數(shù)的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上是解題關(guān)鍵．