Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，E為AC上一點，連接BE．將△BEC旋轉，使點C落在BC上的點D處，點B落在BC上方的點F處，連接AF．
求證：四邊形ABDF是平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：根據已知條件可以判定△ABC、△DCE均為等邊三角形，由等邊三角形的三個內角相等、三條邊相等，進而得到三個三角形△ABC、△AEF、△DCE是等邊三角形，可以推知同位角∠CDE=∠ABC，內錯角∠CDE=∠EFA．所以利用平行的線的判定定理可以證得四邊形ABDF的對邊相互平行．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=60°；
又∵CD=CE，
∴△EDC是等邊三角形，
∴DE=CD=CE，∠DCE=∠EDC=60°，
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE，
∴FD=AC=BC，
∴△ABC、△AEF、△DCE均為等邊三角形，
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及平行四邊形的判定．平行四邊形的判定定理：①對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形；③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．