Question

已知關于x的方程①x²-（1-2a）x+a²-3=0有兩個不相等的實數根，且關于x的方程②x²-2x+2a-1=0沒有實數根，問a取什么整數時，方程①有整數根．

Answer 1

分析：若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍；
關于x的方程②x²-2x+2a-1=0沒有實數根，則根的判別式△=b²-4ac＜0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍；
解關于a的不等式組，再求a的范圍．

解答：解：∵方程①有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=[-（1-2a）]²-4×（a²-3）=13-4a＞0，
解得：a＜

13

4

，
又∵方程②沒有實數根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4×1×（2a-1）=8-8a＜0，
解得：a＞1，
∴a取的整數值有2，3，
當a=2時，方程①變?yōu)閤²+3x+1=0，無整數實根；
當a=3時，方程②變?yōu)閤²+5x+6=0，有整數實根．

點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．