Question

10．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)AB=14，AD=4$\sqrt{2}$，CD=7．直線l經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，且sin∠DAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于AB，與折線A→D→C相交于點(diǎn)M，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）求腰BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻t，使得△MPQ的面積S是梯形ABCD面積的$\frac{1}{4}$？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PM的延長(zhǎng)線與直線l相交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△QMN為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB軸于點(diǎn)F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5；
（2）分類探討：①當(dāng)0＜t≤1時(shí)；②當(dāng)1＜t≤2時(shí)；③當(dāng)2＜t＜$\frac{16}{7}$時(shí)；進(jìn)一步分析得出答案即可；
（3）根據(jù)（2）中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定S的最大值；
（4）△QMN為等腰三角形的情形兩種：點(diǎn)Q在線段NM的右側(cè)；當(dāng)Q在MN的左側(cè)時(shí)；分類討論得出答案即可．

解答 解：（1）如圖1，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB軸于點(diǎn)F，
∵sin∠DAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴CF=4，BF=AB-CD-OA=3，
由勾股定理得BC=5．

（2）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中：
①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB軸于點(diǎn)E，如圖1：
則BE=BQ•cos∠CBF=5t•$\frac{3}{5}$=3t．
∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，
S=$\frac{1}{2}$PM•PE=$\frac{1}{2}$×2t×（14-5t）=-5t²+14t；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2：

過(guò)點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，
則CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，
S=$\frac{1}{2}$PM•PE=$\frac{1}{2}$×2t×（16-7t）=-7t²+16t；
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí)，DM+CQ=CD=7，
即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=$\frac{16}{7}$．
當(dāng)2＜t＜$\frac{16}{7}$時(shí)，如圖3：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，
S=$\frac{1}{2}$PM•MQ=$\frac{1}{2}$×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=-5t²+14t=-5（t-$\frac{7}{5}$）²+$\frac{49}{5}$，
∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線t=$\frac{7}{5}$，
∴當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為9；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=-7t²+16t=-7（t-$\frac{8}{7}$）²+$\frac{64}{7}$，
∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線t=$\frac{8}{7}$，
∴當(dāng)t=$\frac{8}{7}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{64}{7}$；
③當(dāng)2＜t＜$\frac{16}{7}$時(shí)，S=-14t+32
∵k=-14＜0，
∴S隨t的增大而減�。�
又∵當(dāng)t=2時(shí)，S=4；
當(dāng)t=$\frac{16}{7}$時(shí)，S=0，
∴0＜S＜4．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{8}{7}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{64}{7}$．

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：
①如圖4，

點(diǎn)Q在線段NM的右側(cè)，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=$\frac{20}{9}$；

②如圖5，

當(dāng)Q在MN的左側(cè)時(shí)，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，
解得：t=$\frac{12}{5}$．
故當(dāng)t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{12}{5}$時(shí)，△QMN為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查四邊形綜合應(yīng)用，勾股定理，二次函數(shù)，一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解答本題時(shí)注意分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運(yùn)用．