Question

1．等邊△ABC的三條邊上，有三條相等的線段A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂．證明：直線B₂C₁、C₂A₁、A₂B₁所成的三角形上三條線段B₂C₁、C₂A₁、A₂B₁與包含它們的邊成比例．

Answer 1

分析 由這六個(gè)點(diǎn)為△ABC三邊的三等分點(diǎn)，可得出三對(duì)相似三角形：△AB₂C₁∽△ABC，△BA₁C₂∽△BCA，△CA₂B₁∽△CBA；再由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{{B}_{2}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{1}{C}_{2}}{AC}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{AB}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：∵等邊△ABC的三條邊上，有三條相等的線段A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂，
∴A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂為△ABC三邊的三等分點(diǎn)，
∴B₂C₁∥BC，A₁C₂∥AC，A₂B₁∥AB，
∴△AB₂C₁∽△ABC，△BA₁C₂∽△BCA，△CA₂B₁∽△CBA，
∴$\frac{{B}_{2}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{1}{C}_{2}}{AC}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{AB}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)題意推知B₂C₁∥BC，A₁C₂∥AC，A₂B₁∥AB是解題的難點(diǎn)．