Question

15．按要求解方程
（1）$2{（{x+1}）^2}-\frac{9}{2}=0$（直接開(kāi)平方法）
（2）4x-1=2x²（配方法）
（3）${x^2}-4\sqrt{3}x+10=0$（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
    ①4x（2x+1）=3（2x+1）
    ②（x+1）²=（2x-1）²
    ③x²-2x-3=0
（5）換元法
    ①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0
    ②${x^2}+\frac{1}{x^2}-2（{x+\frac{1}{x}}）-1=0$．

Answer 1

分析 （1）先移項(xiàng)，變成（x+1）²=$\frac{9}{4}$，然后直接開(kāi)平方．
（2）把方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移項(xiàng)，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解．
（3）找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)c，計(jì)算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
（4）①先移項(xiàng)，然后通過(guò)提取公因式（3x-2）進(jìn)行因式分解；
②先移項(xiàng)，然后通過(guò)平方差進(jìn)行因式分解；
③通過(guò)十字相乘進(jìn)行因式分解；
（5）①先設(shè)y=2x+1，則原方程變形為y²-3y-28=0，運(yùn)用因式分解法解得y₁=7，y₂=-4，再把y=7和-4分別代入y=2x+1得到關(guān)于x的一元二次方程，然后解兩個(gè)一元二次方程，最后確定原方程的解．
②先設(shè)y=x+$\frac{1}{x}$，則原方程變形為y²-2y-3=0，運(yùn)用因式分解法解得y₁=3，y₂=-1，再把y=3和-1分別代入y=x+$\frac{1}{x}$得到關(guān)于x的分式方程，然后求得x的值，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）$2{（{x+1}）^2}-\frac{9}{2}=0$（直接開(kāi)平方法），
（x+1）²=$\frac{9}{4}$，
∴x+1=±$\frac{3}{2}$，
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$；
（2）4x-1=2x²（配方法）
2x²-4x=-1，
∴x²-2x=-$\frac{1}{2}$，
∴x²-2x+1=-$\frac{1}{2}$+1，
∴（x-1）²=$\frac{1}{2}$，
∴x-1=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）${x^2}-4\sqrt{3}x+10=0$（公式法）
這里a=1，b=-4$\sqrt{3}$，c=10，
∵b²-4ac=（-4$\sqrt{3}$）²-4×1×10=48-40=8＞0，
∴x=$\frac{-^{\;}±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{4\sqrt{3}±\sqrt{8}}{2}$=2$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$，
則x₁=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，x₂=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
①4x（2x+1）=3（2x+1）
4x（2x+1）-3（2x+1）=0，
（2x+1）（4x-3）=0
∴2x+1=0，4x-3=0，
∴x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{4}$；
②（x+1）²=（2x-1）²
（x+1）²-（2x-1）²=0
（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）=0，
∴3x=0，2-x=0，
∴x₁=0，x₂=2；
③x²-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0，x+1=0，
∴x₁=3，x₂=-1；
（5）換元法
①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0，
設(shè)y=2x+1，
原方程變形為y²-3y-28=0，
（y-7）（y+4）=0，
解得y₁=7，y₂=-4，
當(dāng)y=7時(shí)，2x+1=7，解得x=3；
當(dāng)y=-4時(shí)，2x+1=-4，解得x=-$\frac{5}{2}$，
所以原方程的解為x₁=3，x₂=-$\frac{5}{2}$．
②${x^2}+\frac{1}{x^2}-2（{x+\frac{1}{x}}）-1=0$．
y=x+$\frac{1}{x}$，則原方程化為y²-2y-3=0，
解得：y₁=3，y₂=-1．
當(dāng)y=3時(shí)，x+$\frac{1}{x}$=3，
整理，得x²-3x+1=0
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
當(dāng)y=-1時(shí)，x+$\frac{1}{x}$=-1
整理，得x²+x+1=0，△=1-4×1＜0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；
經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解．
∴原方程的解為x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法、因式分解法、配方法、換元法是解題的關(guān)鍵．