Question

7．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象過(guò)Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于C，連結(jié)AD、OC，若△ABO的周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{5}$，AD=2，則△ACO的面積為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 在直角三角形AOB中，由斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出OB的長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)求出直角邊之和，設(shè)其中一直角邊AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB與OA的長(zhǎng)，過(guò)D作DE垂直于x軸，得到E為OA中點(diǎn)，求出OE的長(zhǎng)，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出k的值，確定出三角形AOC面積即可．

解答 解：在Rt△AOB中，AD=2，AD為斜邊OB的中線，
∴OB=2AD=4，
由周長(zhǎng)為4+2$\sqrt{5}$，得到AB+AO=2$\sqrt{5}$，
設(shè)AB=x，則AO=2$\sqrt{5}$-x，
根據(jù)勾股定理得：AB²+OA²=OB²，即x²+（2$\sqrt{5}$-x）²=4²，
整理得：x²-2$\sqrt{5}$x+2=0，
解得x₁=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
過(guò)D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，可得E為AO中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）（假設(shè)OA=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，若OA=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，求出結(jié)果相同），
在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$），
∴k=-DE•OE=-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$DE•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：勾股定理，直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，三角形面積求法，以及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例的圖象與性質(zhì)是解本題關(guān)鍵．