Question

19．閱讀材料，大數(shù)學家高斯在上學時研究過這樣一個問題，1+2+3+…+10=？經(jīng)過研究這個問題，這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）其中n是正整數(shù)，現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？，觀察下面三個特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完這段材料請你計算：
（1）1×2+2×3+…+100×101
（2）$\frac{1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011}{2009×2010×2011}\end{array}$
（3）1×2×3×4+2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三個特殊等式相加的結(jié)果，得到規(guī)律，進行計算即可求解；
（2）先對特殊等式進行整理，從而找出規(guī)律，代入計算即可得解；
（3）先對特殊等式進行整理，從而找出規(guī)律，然后把每一個算式都寫成兩個算式的運算形式，整理即可得解．

解答 解：（1）∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=$\frac{1}{3}$×100×101×102=343400；

（2）根據(jù)（1）的計算方法，1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
∴1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011=$\frac{1}{4}$×2009×2110×2011×2012，
∴$\frac{1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011}{2009×2010×2011}\end{array}$
=$\frac{\frac{1}{4}（2009×2010×2011×2012）}{2009×2010×2011}$
=$\frac{1}{4}$×2012
=53；
（3）∵1×2×3×4=$\frac{1}{5}$（1×2×3×4×5-0×1×2×3×4），
2×3×4×5=$\frac{1}{5}$（2×3×4×5×6-1×2×3×4×5），
3×4×5×6=$\frac{1}{5}$（3×4×5×6×7-2×3×4×5×6），
…
n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]，
∴1×2×3×4+2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[1×2×3×4×5-0×1×2×3×4+2×3×4×5×6-1×2×3×4×5+3×4×5×6×7-2×3×4×5×6+…+n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]，
=$\frac{1}{5}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．

點評 考查了有理數(shù)的混合運算，能從材料中獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本能力．要注意：連續(xù)的整數(shù)相乘的進一步變形，即n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．