Question

已知：直角坐標系xoy中，將直線y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B（-3，0）及y軸上的C點．若拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），且經(jīng)過點C，
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C求出C點的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c過點B，C，把B、C兩點的坐標代入所設(shè)函數(shù)解析式即可求出此解析式；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)的解析式可求出A、D兩點的坐標，判斷出△OBC是等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出∠OBC的度數(shù)，過點A作AE⊥BC于點E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的長，再根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出PF的長，再點P在拋物線的對稱軸上即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）∵y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C，
∴此時直線的解析式為y=kx-3，令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3）（1分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．（1分）
∵B（-3，0）在直線BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直線BC的解析式為y=-x-3．（1分）
∵拋物線y=-x²+bx+c過點B，C，
∴（2分）
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3；（1分）

（2）由y=-x²-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．（1分）
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3．（1分）
設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴AF=AB=1．
過點A作AE⊥BC于點E．
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=，CE=2，（1分）
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．（1分）
∴=，=，
解得，PF=2，
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標為（-2，-2），（-2，2）（不合題意舍去）．（2分）
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、特殊角度的三角函數(shù)值及相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．