Question

4．如圖1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C．
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）M為AD的中點，在AB上取一點N，使∠BNC=2∠DCM．
①如圖2，若N為AB中點，BN=2，求CN的長；②如圖2，若CM=3，CN=4，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠B=90°即可．
（2）如圖2中，延長CM、BA交于點E，只要證明△AME≌△DMC，得到AE=CD-4，再證明EN=CN即可解決問題．
（3）如圖3中，延長CM、BA交于點E．設BN=x，則BC²=CN²-BN²=CE²-EB²，由此列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）①如圖2中，延長CM、BA交于點E．

∵AN=BN=2，
∴AB=CD=4，
∵AE∥DC，
∴∠E=∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MCD}\\{∠AME=∠CMD}\\{AM=DM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DMC，
∴AE=CD=4，
∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD，
∴∠NCE=∠ECD=∠E，
∴CN=EN=AE+AN=4+2=6．

②如圖3中，延長CM、BA交于點E．

由①可知，△EAM≌△CDM，EN=CN，
∴EM=CM=3，EN=CN=4，設BN=x，則BC²=CN²-BN²=CE²-EB²，
∴4²-x²=6²-（x+4）²，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\sqrt{C{N}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線．構(gòu)造全等三角形，屬于中考考查圖形．