Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD，∠BCD=∠A.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BC=5，BD=3，求點(diǎn)O到CD的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE=

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=90°，得到∠A+∠ACD=90°，求得∠ACB=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過O作OE⊥CD于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°

∠A+∠ACD=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠ACD=90°

∴∠ACB=90°，

∴OC⊥BC，

∵OC是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線.

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，如圖所示

在Rt△BCD中，

∵BC=5，BD=3，

∴CD=4

∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.

∴Rt△BDC∽Rt△CDA.

∴，

∴

∵OE⊥CD，

∴E為CD的中點(diǎn)

又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴OE=

∴點(diǎn)O到CD的距離是