Question

如圖，拋物線y=

1

2

x2-x-4與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，P是線段AB上一動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接CP．
（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求△PCD面積的最大值，并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標(biāo)，設(shè)x=0，則可求出C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到關(guān)于PD的比例式，由此得到PD和x的關(guān)系，再求出C到PD的距離（即P到AC的距離），利用三角形的面積公式可得到S和x的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出三角形面積的最大值，進(jìn)而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．

解答：解：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）；

（2）PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形，
理由如下：
設(shè)P（x，0）（-2＜x＜4），
∵PD∥AC，
∴

PD

AC

=

BP

AB

，
解得PD=

2 2

3

(x+2)，
∵C到PD的距離（即P到AC的距離）d=PA×sin450=

2

2

(4-x)，
∴△PCD的面積S=

1

2

×PD×d=

1

3

(x+2)(4-x)=-

1

3

x2+

2

3

x+

8

3

，
即S=-

1

3

(x-1)2+3，
∴△PCD面積的最大值為3，
當(dāng)△PCD的面積取最大值時，x=1，PA=4-x=3，PD=

2 2

3

(x+2)=2

2

，
∵PA≠PD，
∴PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、平行線分線段成比例定理、特殊角的銳角三角形函數(shù)值、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的判定，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．