已知,如圖,D是線段AB上的點(diǎn),以BD為直徑作⊙O,AP切⊙O于E,BC⊥AF于C,連接DE精英家教網(wǎng)、BE.
(1)求證:BE平分∠ABC;
(2)若D是AB中點(diǎn),⊙O直徑BD=3
3
,求DE的長.
分析:(1)可利用CE是圓的切線來求證,連接OE,因此OE∥BC(都和AF垂直),可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對等角,將相等角進(jìn)行替換即可得出∠EBD=∠EBC.
(2)可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過E作EH⊥AB于H,那么不難得出EDH和BDE相似,可得出DE2=DH•DB,那么求出DH就是關(guān)鍵,也就是求出BH的長.根據(jù)(1)的角平分線,我們不難得出BH=BC,那么就必須求出BC,有AB的長,只要知道∠A的正弦值就可以求出BC了,在直角三角形AOE中,AO=3OE,由此可得出∠A的正弦值,也就求出BC、BH、DH的長了,然后可根據(jù)上面上面所述的步驟求出DE的長.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OE,
∵AF與⊙O切于點(diǎn)E,
∴OE⊥AC.
又BC⊥AF于C,
∴OE∥BC.
∴∠OEB=∠EBC,
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,
∴∠OBE=∠EBC,
∴BE平分∠ABC.

(2)解:過E作EH⊥AB于H,連接OE,
在直角三角形OEA中,sinA=OE:AO=OE:3OE=1:3,
直角三角形ABC中,AB=2BD=6
3
,
BC=AB•sinA=6×
1
3
=2
3
,
∵∠EHB=∠ECB=90°,BE=BE,∠EBA=∠EBC,
∴△EBH≌△ECB.
∴BH=BC=2
3

∴DH=
3

∵∠DEB=∠EHD=90°,∠EDO=∠BDE,
∴△EDH∽△BDE.
∴DE2=DH•DB=
3
×3
3
=9.
∴DE=3.
點(diǎn)評:本題考查了切線的性質(zhì),解直角三角形等知識(shí)點(diǎn),通過切線的性質(zhì)得出角相等或垂直是解題的關(guān)鍵.
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(2012•北京二模)已知:如圖,P是線段AB的中點(diǎn),線段MN經(jīng)過點(diǎn)P,MA⊥AB,NB⊥AB.
求證:AM=BN.

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(2012•大豐市一模)已知:如圖,M是線段BC的中點(diǎn),BC=4,分別以MB、MC為邊在線段BC的同側(cè)作等邊△BAM、等邊△MCD,連接AD.
(1)求證:四邊形ABCD是等腰梯形;
(2)將△MDC繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(60°<α<120°),得到△MD′C′,MD′交AB于點(diǎn)E,MC′交AD于點(diǎn)F,連接EF.
①求證:EF∥D′C′;
②△AEF的周長是否存在最小值?如果不存在,請說明理由;如果存在,請計(jì)算出△AEF周長的最小值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,C是線段AB的中點(diǎn),∠A=∠B,∠ACE=∠BCD.
求證:AD=BE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,M是線段BC的中點(diǎn),BC=4,分別以MB、MC為邊在線段BC的同側(cè)作等邊△BAM、等邊△MCD,連接AD

1.求證:四邊形ABCD是等腰梯形

2.將△MDC繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(60º<α<120º),得到△MD´C´,MD´交AB于點(diǎn)E,MC´交AD于點(diǎn)F,連接EF.

①求證:EF∥D´C´;

②△AEF的周長是否存在最小值?如果不存在,請說明理由;如果存在,請計(jì)算出△AEF周長的最小值.

 

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