Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=-x的圖象l是第二、四象限的角平分線．
（1）實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知A（-1，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，1），請你寫出點(diǎn)B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-3，-5）；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形，自己選點(diǎn)再試一試，通過觀察點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-n，-m）；
（3）運(yùn)用與拓廣：
①已知兩點(diǎn)C（6，0），D（2，4），試在直線l上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到C，D兩點(diǎn)的距離之和最小，在圖中畫出點(diǎn)P的位置，保留作圖痕跡，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②在①的條件下，試求出PC+PD的最小值．

Answer 1

分析 （1）觀察圖形得出點(diǎn)B（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)即可；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出P（m，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可；
（3）①如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)C′，連接C′D，交l于點(diǎn)P，連接CP，由作圖可知，PC=PC′，進(jìn)而得到PC+PD=C′D，求出此時P坐標(biāo)即可；②利用勾股定理求出PC+PD的最小值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：B′（-3，-5）；
（2）根據(jù)題意得：P′（-n，-m）；
故答案為：（1）（-3，-5）；（2）（-n，-m）；
（3）①如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)C′，連接C′D，交l于點(diǎn)P，連接CP，

由作圖可知，PC=PC′，
∴PC+PD=PC′+PD=C′D，
∴點(diǎn)P為所求，
∵C（6，0），
∴C′（0，-6）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx-6，
∵D（2，4），
∴k=5，
∴直線C′D的解析式為y=5x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x-6}\\{y=-x}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴P（1，-1）；
②PC+PD=$\sqrt{{2}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{26}$．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：對稱的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，弄清題意關(guān)于y=-x對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．