Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過O（0，0），A（4，0），B（3，3）三點，連接AB，過點B作BC∥軸交拋物線于點C．動點E、F分別從O、A兩點同時出發(fā)，其中點E沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向A點運動，點F沿折線A→B→C以每秒1個單位長度的速度向C點運動，動點E、F有一個點到達目的點即停止全部運動．設(shè)動點運動的時間為t（秒）．

【小題1】求拋物線的解析式
【小題2】記△EFA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
【小題3】是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】根據(jù)題意得-------------1分
解得，所以-----------------2分
【小題2】過點B作BM⊥x軸于M，

則BM=3，OM=3，∵OA=4，所以AM=1，
AB=．
當時，,過點F作FH⊥x軸，因為
,∴，
------------4分
當時，如圖，
------------6分
當時，處取得面積最大值，最大值為，
當時, 處取得面積最大值，最大值為，
綜上，所以當x=2時，取得面積最大值．------------8分
【小題3】當時，
若∠EFA=90°,可得，得，即，得,

此時，點．------------10分
當∠FEA=90°時，可得，得，
即，得,
此時，點．------------12分
當時，∠FEA一定為鈍角，符合題意的三角形不存在．------------14分解析:
（1）將三點的坐標代入，利用待定系數(shù)法求解即可得出答案．
（2）過點B作BM⊥x軸于M構(gòu)建Rt△ABM，由點B的坐標可以求得BM=，OM=3，由點A的坐標可以求得OA=4，根據(jù)圖形可知AM=1，在該三角形中利用勾股定理可以求得AB=2，所以根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可以推知∠BAM=60°；最后根據(jù)t的不同取值范圍進行分類討論，并求得相應(yīng)的S的值，通過比較即可求得S的最大值；
（3）需要分類討論：①當0≤t≤2時，若∠EFA=90°，此時∠FEA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標；
②當∠FEA=90°時，此時∠EFA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=，故這種情況不存在；
③當2＜t≤4時，有t-2+t=3，即t=2.5，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標．