Question

已知兩個全等的等腰直角、△DEF，其中ACB=DFE=90，E為AB中

點，△DEF可繞頂點E旋轉(zhuǎn)，線段DE，EF分別交線段CA，CB(或它們所在直線)于

M、N．

  (1)如圖l，當線段EF經(jīng)過的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC

于M,求證：AM=MC；

  (2)如圖2，當線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連

MN,EC,請?zhí)骄緼M，MN,CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；

  (3)如圖3，當線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連

MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由。

Answer 1

（1）∵AC=BC，E為AB中點

CE⊥AB, ∠ACE＝∠BCE =ACB=45^o

∠AEC＝90^o

∠A=∠ACE=45^o

AE=CE                                    

∵DF=EF, ∠DFE＝90^o

∠FED=45^o

∠FED=∠AEC

又∵AE=CE

AM=MC                                   

（2）AM=MN+CN，理由如下:                       

在AM截取AH，使得AH=CN，連接BH

由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45^o

在與中： ≌

HE=NE，∠AEH＝∠CEN

∠HEM=∠AEC－∠AEH－MEC=∠AEC－∠CEN－MEC=∠AEC－∠MEF==45^o

∠HEM=∠NEM=45^o

在與中： ≌

HM=MN

AM=AH+HM= CN +MN

即AM=MN+CN                               

（3）猜得MN = AM +CN