Question

6．如圖，四邊形OABC是菱形，對角線OB在x軸負半軸上，位于第二象限的點A和第三象限的點C分別在雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，分別過點A、C作y軸的垂線，垂足分別為E和F．下列結論：①|(zhì)k₁|=|k₂|；②AE=CF；③若四邊形OABC是正方形，則∠EAO=45°．其中正確的有（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 連接AC交OB于D，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，得出△AOD的面積=△COD的面積，由三角形的面積與k的關系即可得出①正確；
證出四邊形ADOE是矩形，得出AE=DO，同理：CF=DO，得出AE=CF，②正確；
若四邊形OABC是正方形，則∠AOB=45°，得出∠AOE=45°，求出∠EAO=45°，③正確；即可得出結論．

解答 解：連接AC交OB于D，如圖所示：
∵四邊形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，
∴△AOD的面積=△COD的面積，
∵△AOD的面積=$\frac{1}{2}$|k₁|，△COD的面積=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴|k₁|=|k₂|，①正確；
∵AE⊥y軸，AC⊥BD，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∴AE=DO，
同理：CF=DO，
∴AE=CF，②正確；
若四邊形OABC是正方形，則∠AOB=45°，
∴∠AOE=90°-45°=45°，
∵∠AEO=90°，
∴∠EAO=45°，③正確；
正確的有3個，故選：D．

點評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)k的幾何意義、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)是解題的關鍵．