Question

（2012•北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁-y₂|．
例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點(diǎn)）．
（1）已知點(diǎn)A（-

1

2

，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=

3

4

x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0-y|=2，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)閨-

1

2

-0|≥|0-y|，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|-

1

2

-0|=

1

2

；
（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，

3

4

x₀+3）．根據(jù)材料“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為-x₀=

3

4

x₀+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線y=

3

4

x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，即E（-

3

5

，

4

5

）．解答思路同上．

解答：解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|-

1

2

-0|=

1

2

≠2，
∴|0-y|=2，
解得，y=2或y=-2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，-2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為

1

2

（2）①如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”解答，此時(shí)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．即AC=AD，
∵C是直線y=

3

4

x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，

3

4

x₀+3），
∴-x₀=

3

4

x₀+2，
此時(shí)，x₀=-

8

7

，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=

8

7

，
此時(shí)C（-

8

7

，

15

7

）；
②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線y=

3

4

x+3垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，設(shè)E（x，y）（點(diǎn)E位于第二象限）．則

y x =- 4 3 x2+y2=1

，
解得，

x=- 3 5 y= 4 5

，
故E（-

3

5

，

4

5

）．
-

3

5

-x₀=

3

4

x₀+3-

4

5

，
解得，x₀=-

8

5

，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

8

5

，

9

5

），
最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．對(duì)于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵．