Question

（2012•常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0），⊙P是以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓，若一次函數(shù)y=kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)A（-1，0）且與⊙P相切，則k+b的值為

±

2 3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示當(dāng)直線AB與圓P相切，切點(diǎn)為B點(diǎn)且B在第一象限時(shí)，連接PB，由AB為圓P的切線，利用切線的性質(zhì)得到AB垂直于BP，可得出三角形ABP為直角三角形，由A和P的坐標(biāo)求出OA與OP的長(zhǎng)，用OA+OP求出AP的長(zhǎng)，可得出BP等于AP的一半，根據(jù)直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對(duì)的角為30°，得到∠BAP為30°，在直角三角形AOC中，由C的坐標(biāo)求出OC的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan30°，將OA的值并利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，求出OC的長(zhǎng)，確定出C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A和C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，進(jìn)而求出k+b的值；當(dāng)直線AB與圓P相切，B為切點(diǎn)，且B在第二象限時(shí)，同理求出k+b的值，綜上，得到滿足題意k+b的值．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)直線AB與圓P相切，設(shè)切點(diǎn)為B點(diǎn)，且切點(diǎn)B在第一象限時(shí)，
連接PB，由AB為圓P的切線，得到BP⊥AB，
又∵A（-1，0），P（3，0），
∴OA=1，OP=3，又BP=2，
則AP=OA+OP=1+3=4，
在Rt△ABP中，BP=

1

2

AP，
可得出∠BAP=30°，
在Rt△ACO中，OA=1，∠BAP=30°，
∴tan∠BAP=tan30°=

OC

OA

=OC，
∴OC=

3

3

，即C（0，

3

3

），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A和C的坐標(biāo)代入得：

-k+b=0 b= 3 3

，
解得：

k= 3 3 b= 3 3

，
∴k+b=

2 3

3

；
當(dāng)直線AB與圓P相切時(shí)，切點(diǎn)B在第四象限時(shí)，同理得到k=b=-

3

3

，
可得k+b=-

2 3

3

，
綜上，k+b=±

2 3

3

．
故答案為：±

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的判定與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)定義，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．