Question

11．如圖，在菱形ABCD中，AB=5cm，AC=6cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA-AD以1cm/s的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC交折線BC-CD于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN，且MN與AC始終在PQ的同側(cè)．設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）求點(diǎn)P在AB邊上時(shí)PQ的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)N落在AC上時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)正方形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形是六邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△BPQ∽△BAC，對(duì)應(yīng)邊成比例得出$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{PQ}{6}$=$\frac{t}{5}$，即可求得PQ=$\frac{6}{5}$t． 
（2）根據(jù)勾股定理求得OB，然后分兩種情況分別討論即可求得；
（3）分兩種情況，根據(jù)圖形求得即可；
（4）分別求得當(dāng)P、Q、M、N四點(diǎn)都在菱形四條邊上時(shí)和MN經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的t的值，即可求得正方形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形是六邊形時(shí)t的取值范圍．

解答 解：（1）如圖①，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．  
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$．即$\frac{PQ}{6}$=$\frac{t}{5}$．
∴PQ=$\frac{6}{5}$t．     
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4．
①如圖②，當(dāng)0＜t≤5時(shí)，
∵cos∠APN=cos∠ABO，
∴$\frac{PN}{PA}$=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{\frac{6}{5}t}{4}$，
∴t=2．                                                                
②如圖③，當(dāng)5＜t≤10時(shí)，
PQ=$\frac{6}{5}$（10-t）．
∵cos∠APN=cos∠ADO，
∴$\frac{PN}{PA}$=$\frac{DO}{AD}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{\frac{6}{5}（10-t）}{t-5}$=$\frac{4}{5}$
∴t=8．                                                               
（3）①如圖①，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=PQ²=（$\frac{6}{5}$t）²=$\frac{36}{25}$t²．                          
②如圖④，當(dāng)2＜t＜5時(shí)，設(shè)PN、QM與AC分別交于點(diǎn)G、H．則PG=$\frac{4}{5}$（5-t）．
∴S=PQ•PG=$\frac{6}{5}$t•$\frac{4}{5}$（5-t）=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t．
（4）如圖⑤，

當(dāng)P、Q、M、N四點(diǎn)都在菱形四條邊上時(shí)，則$\frac{PN}{BD}$=$\frac{PA}{AB}$，即$\frac{\frac{6}{5}t}{8}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=$\frac{20}{7}$，
如圖⑥，

當(dāng)MN經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，則（8-$\frac{6}{5}$t）²+（$\frac{3}{5}$t）²=t²，
∴t=4；
∴當(dāng)正方形PQMN與菱形ABCD重疊部分圖形是六邊形時(shí)，$\frac{20}{7}$＜t＜4或6＜t＜$\frac{50}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．