【題目】 如圖,對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點,其中點A的坐標(biāo)為(﹣3,0).
(1)求點B的坐標(biāo).
(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.
①若點P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求點P的坐標(biāo).
②設(shè)點Q是線段AC上的動點,作QD⊥x軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.
【答案】(1)(1,0);(2)①(4,21)或(﹣4,5);②當(dāng)x=﹣時,QD有最大值.
【解析】
試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1,交x軸于A、B兩點,其中A點的坐標(biāo)為(﹣3,0),根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,即可求得B點的坐標(biāo);
(2)①a=1時,先由對稱軸為直線x=﹣1,求出b的值,再將B(1,0)代入,求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3,得到C點坐標(biāo),然后設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進而得到點P的坐標(biāo);
②先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,再設(shè)Q點坐標(biāo)為(x,﹣x﹣3),則D點坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值.
解:(1)∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點,
∴A、B兩點關(guān)于直線x=﹣1對稱,
∵點A的坐標(biāo)為(﹣3,0),
∴點B的坐標(biāo)為(1,0);
(2)①a=1時,∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1,
∴=﹣1,解得b=2.
將B(1,0)代入y=x2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=﹣3.
則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3,
∴拋物線與y軸的交點C的坐標(biāo)為(0,﹣3),OC=3.
設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),
∵S△POC=4S△BOC,
∴×3×|x|=4××3×1,
∴|x|=4,x=±4.
當(dāng)x=4時,x2+2x﹣3=16+8﹣3=21;
當(dāng)x=﹣4時,x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.
∴點P的坐標(biāo)為(4,21)或(﹣4,5);
②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t (k≠0)將A(﹣3,0),C(0,﹣3)代入,
得,解得,
即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3.
設(shè)Q點坐標(biāo)為(x,﹣x﹣3)(﹣3≤x≤0),則D點坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),
QD=(﹣x﹣3)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+)2+,
∴當(dāng)x=﹣時,QD有最大值.
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【題目】如圖,半徑為1個單位的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合,AB是圓片的直徑.
(1)把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周,點B到達數(shù)軸上點C的位置,點C表示的數(shù)是__________數(shù)(填“無理”或“有理”),這個數(shù)是__________;
(2)把圓片沿數(shù)軸滾動2周,點A到達數(shù)軸上點D的位置,點D表示的數(shù)是__________;
(3)圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù),圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù),依次運動情況記錄如下:+2,﹣1,+3,﹣4,﹣3
①第幾次滾動后,A點距離原點最近?第幾次滾動后,A點距離原點最遠?
②當(dāng)圓片結(jié)束運動時,A點運動的路程共有多少?此時點A所表示的數(shù)是多少?
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【題目】(1)敘述三角形中位線定理,并運用平行四邊形的知識證明;
(2)運用三角形中位線的知識解決如下問題:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E,F分別是AB,CD的中點,求證EF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點,CE=BC,F為CD的中點,連接AF、AE、EF,
(1)判定△AEF的形狀,并說明理由;
(2)設(shè)AE的中點為O,判定∠BOF和∠BAF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖AB是⊙O的直徑,AP是⊙O的切線,A是切點,BP與⊙O交于點C.
(1)若AB=2,∠P=30°,求AP的長;
(2)若D為AP的中點,求證:直線CD是⊙O的切線.
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【題目】規(guī)定一種新運算“※”,兩數(shù)a,b通過“※”運算得(a+2)×2﹣b,即a※b=(a+2)×2﹣b,例如:3※5=(3+2)×2﹣5=10﹣5=5.根據(jù)上面規(guī)定解答下題:
(1)求(7※5)※(﹣3)
(2)7※(﹣3)與(﹣3)※7的值相等嗎?
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