Question

如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且BE：EA=5：3，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F，則：
（1）AB=

 

；
（2）若⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形，則⊙O的半徑=

 

．

Answer 1

分析：（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題，題中可先設(shè)其長(zhǎng)度為k，然后利用三角形相似建立平衡關(guān)系，再用勾股定理求解即可．
（2）連接OB，由⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點(diǎn)的四邊形，則由（1）可知BE=5，BC=10，所以可求出S_△EBC的面積，又因?yàn)?SUB>^S△EBC=S_△OEB+S_△OBC，進(jìn)而求出則⊙O的半徑．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵F在AD上，∠EFC=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，
∴

AE

DF

=

AF

DC

；
∵BE：EA=5：3
設(shè)BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴

3k

DF

=

4k

8k

∴DF=6k
∴BC=AD=10k，
又∵BC=10，
∴k=1，
∴AB=8k=8；

（2）連接OB，由（1）可知BE=5，BC=10，
∴S_△EBC=

1

2

×10×5=25，
∵_^S△EBC=S_△OEB+S_△OBC，
∴

1

2

×BE×BC=

1

2

×BE×r+

1

2

×BC×r，
解得：r=

10

3

．
故答案為：8，

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的翻折問(wèn)題，能夠利用勾股定理求解直角三角形；同時(shí)也考查了切線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，難度稍大，解題時(shí)要理清思路．