Question

（2013•青羊區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（0，3）．已知該拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，A、B兩點(diǎn)間的距離為4．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求△ABC外接圓的圓心M的縱坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2兩部分？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），所以A和B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，于是

x1+x2

2

=1①；又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)間的距離為4，且x₁＜x₂，所以x₂-x₁=4②，將①②組成方程組，解出x₁，x₂的值，再將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)三角形外心的定義可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出圓心M的橫坐標(biāo)為1，設(shè)M（1，y），根據(jù)MA=MC列出方程，即可求出M的縱坐標(biāo)；
（3）設(shè)PD與BM的交點(diǎn)為E，分成兩種情況考慮：①當(dāng)△BPE的面積是△BDE的2倍時(shí)，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，即DE=

1

3

PD，可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么E點(diǎn)的縱坐標(biāo)是P點(diǎn)縱坐標(biāo)的

1

3

，BD的長為B、P橫坐標(biāo)差的絕對值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作為等量關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△BDE的面積是△BPE的2倍時(shí)，方法同①．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），且拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴

x1+x2

2

=1，即x₁+x₂=2①；
又∵A、B兩點(diǎn)間的距離為4，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=4②，
①與②組成方程組

x1+x2=2 x2-x1=4

，
解得

x1=-1 x2=3

，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵△ABC外接圓的圓心是M，
∴MA=MB=MC，M點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴M的橫坐標(biāo)為：

-1+3

2

=1．
設(shè)M（1，y），由MA=MC，
得（1+1）²+y²=1²+（y-3）²，
解得y=1．
故△ABC外接圓的圓心M的縱坐標(biāo)為1；

（3）在拋物線上存在一點(diǎn)P，能夠使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2的兩部分．理由如下：
設(shè)PD與BM的交點(diǎn)為E，可求直線BM解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），分兩種情況：
①當(dāng)S_△BED：S_△BEP=1：2時(shí)，PD=3DE，如圖．
則-x²+2x+3=3（-

1

2

x+

3

2

），
整理，得2x²-7x+3=0，
解得x=

1

2

或3，
∴

x= 1 2 y= 15 4

或

x=3 y=0

（舍去），
∴P（

1

2

，

15

4

）；
②當(dāng)S_△PBE：S_△BED=1：2時(shí)，2PD=3DE，如圖．
則2（-x²+2x+3）=3（-

1

2

x+

3

2

），
整理，得4x²-11x-3=0，
解得x=-

1

4

或3，
∴

x=- 1 4 y= 39 16

或

x=3 y=0

（舍去），
∴P（-

1

4

，

39

16

）．
故在拋物線上存在點(diǎn)P（

1

2

，

15

4

）或P（-

1

4

，

39

16

），使△PBD（PD垂直于x軸，垂足為D）被直線BM分成面積比為1：2的兩部分．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合類題目，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的外心，兩點(diǎn)間的距離公式以及圖形面積的求法等知識，綜合性強(qiáng)，難度稍大，（3）中進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．