Question

閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）的距離記作AB=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過構(gòu)造直角三角形來求AB間的距離．如圖，過A，B分別向x軸、y軸作垂線AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分別是M₁、N₁、M₂、N₂，直線AN₁交BM₂于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x₁-x₂|，BQ=|y₁-y₂|，
∴AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂|²+（y₁-y₂）²，
由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）間的距離公式為：AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．
（1）直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為

 

；
（2）平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A（2，3），B（4，1），P為x軸上任一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為

 

；
（3）應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式

x2+(y-2)2

+

(x-3)2+(y-1)2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,兩點(diǎn)間的距離公式

專題：閱讀型

分析：（1）直接利用兩點(diǎn)之間距離公式直接求出即可；
（2）利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而求出PA+PB的最小值；
（3）根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（-2，-4）和（3，1）的距離之和，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）間的距離公式為：
AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
∴點(diǎn)A（1，-3），B（-2，1）之間的距離為：

(1+2)2+(-3-1)2

=5；
故答案為：5；

（2）如圖所示：作A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′點(diǎn)，連接A′B，
則此時(shí)PA+PB最小，最小值為：

42+22

=2

5

；
故答案為：2

5

；

（3）原式表示的幾何意義是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（0，2）和（3，1）的距離之和，
當(dāng)點(diǎn)（x，y）在以（0，2）和（3，1）為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，
∴原式最小為

(0-3)2+(2-1)2

=

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最值問題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問題是解題關(guān)鍵．