Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延長(zhǎng)DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：設(shè)BC=x，則AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=4²，
解得：x₁=1+，x₂=1-（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+．
分析：（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，可得方程：（x-2）²+x²=4²，解此方程即可求得CB的長(zhǎng)，繼而求得CE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．