(2006•南通)如圖,已知AB是⊙O的直徑,⊙O的切線PA與弦BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,∠PBA的平分線交PA于點(diǎn)D,∠ABC=30°.
(1)求∠ADB的度數(shù);
(2)若PA=2cm,求BC的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)知:∠PAB=90°,再根據(jù)∠PBA的平分線交PA于點(diǎn)D,∠ABC的度數(shù),可得:∠ABD的度數(shù),從而可將∠ADB的度數(shù)求出;
(2)在Rt△APC中,根據(jù)PA的長(zhǎng)和∠PAC的度數(shù),可將PA的長(zhǎng)求出,在Rt△ABP中,根據(jù)三角函數(shù)可將PB的長(zhǎng)求出,從而可將BC的長(zhǎng)求出.
解答:解:(1)∵PA是⊙O的切線,AB是⊙O的直徑,
∴∠PAB=90°,
∵BD平分∠PBA,
∴∠ABD=∠PBA=×30°=15°,
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°;

(2)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠PCA=∠ACB=90°;
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°;
在Rt△PAC中,
∵PA=2,∠PCA=90°,
∴PC=PA=1;
在Rt△ABP中,
∵∠ABP=30°,∠PAB=90°,
∴PB=2AP=2×2=4,
∴BC=PB-PC=3(cm).
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識(shí).運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證,常通作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題.
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(2006•南通)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B(5,0),M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點(diǎn),OD=BC=2,∠DMC=∠DOB=60度.
(1)求點(diǎn)D,B所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)∠DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<30°后,得到∠D1MC1(點(diǎn)D1,C1依次與點(diǎn)D,C對(duì)應(yīng)),射線MD1交邊DC于點(diǎn)E,射線MC1交邊CB于點(diǎn)F,設(shè)DE=m,BF=n.求m與n的函數(shù)關(guān)系式.

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(1)求點(diǎn)D,B所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)∠DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<30°后,得到∠D1MC1(點(diǎn)D1,C1依次與點(diǎn)D,C對(duì)應(yīng)),射線MD1交邊DC于點(diǎn)E,射線MC1交邊CB于點(diǎn)F,設(shè)DE=m,BF=n.求m與n的函數(shù)關(guān)系式.

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(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)∠DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<30°后,得到∠D1MC1(點(diǎn)D1,C1依次與點(diǎn)D,C對(duì)應(yīng)),射線MD1交邊DC于點(diǎn)E,射線MC1交邊CB于點(diǎn)F,設(shè)DE=m,BF=n.求m與n的函數(shù)關(guān)系式.

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