Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點(diǎn)．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點(diǎn)B，使△AOB的面積等于6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）對于（2）中的點(diǎn)B，在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠POB=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．

（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，然后將符合題意的B點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點(diǎn)在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點(diǎn)是否符合要求即可．

（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時，可先求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積．

【解答】解：①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，

∴0=k+1，

∴k=﹣1，

∴y=x²﹣3x，

②假設(shè)存在點(diǎn)B，過點(diǎn)B做BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵△AOB的面積等于6，

∴AO•BD=6，

當(dāng)0=x²﹣3x，

x（x﹣3）=0，

解得：x=0或3，

∴AO=3，

∴BD=4

 即4=x²﹣3x，

 解得：x=4或x=﹣1（舍去）．

又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 1.5，﹣2.25）．

∵2.25＜4，

∴x軸下方不存在B點(diǎn)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）；

③∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4），

∴∠BOD=45°，BO==4，

當(dāng)∠POB=90°，

∴∠POD=45°，

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x，則縱坐標(biāo)為：x²﹣3x，

即﹣x=x²﹣3x，

解得x=2 或x=0，

∴在拋物線上僅存在一點(diǎn)P （2，﹣2）．

∴OP==2，

使∠POB=90°，

∴△POB的面積為：PO•BO=×4×2=8．

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積求法等知識．利用已知進(jìn)行分類討論得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．