Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，直線l滿足條件：點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，并等于點(diǎn)C到直線l的距離的一半．問這樣的直線l有幾條？請(qǐng)畫圖說明，并求點(diǎn)C到直線l的距離．

Answer 1

解：如圖所示：這樣的直線l有4條；
過C作CM⊥l₁，垂足分別為M、N，交AB于O，
∵l₂∥l₁∥AB，
∴CM⊥l₂，
∵AC=BC=6，
∴CO⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴AB==6，
CO=AB=3，
∵點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，并等于點(diǎn)C到直線l的距離的一半，
∴CM=2，
即C到直線l的距離為2，
同理可得出：ON=CO=3，CN=6，
將l₁與AC交點(diǎn)D，與O連接，
∵CM=2，l₂∥l₁∥AB，
∴CM=DM=2，MO=3-2=，
∵∠DMO=90°，
∴DO==，
作CE⊥DO，AF⊥DO交OD延長線于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，并等于點(diǎn)C到直線l的距離的一半，
∴AF=EC，
∴S_△CDO=2S_△ADO，
∴S_△CDO=S_△ACO=×AO•CO=×3×3=12，
S_△CDO=×CE×DO=×EC×=12，
解得：CE=，
同理可得：與CO對(duì)稱的直線l₃，
此時(shí)C到直線距離為，
綜上所述：C到直線l的距離為2、6、、．
分析：根據(jù)點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，并等于點(diǎn)C到直線l的距離的一半，得出平行于AB的兩條直線，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出過AB中點(diǎn)以及過l₁與AC交點(diǎn)D的直線，進(jìn)而得出另一條直線，利用三角形面積求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖以及勾股定理和平行線分線段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出符合要求的方案是解題關(guān)鍵．