Question

如圖，已知在?ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF=AD．
（1）若∠C=60°，AB=2，求EC的長；
（2）求證：CD=DG+FC．

Answer 1

考點：正方形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),平移的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先解直角三角形求得AD=DF=

3

，由AE平分∠BAD，則∠BAE=∠DAE；由AB∥CD，則∠BAE=∠DEA，從而有∠DAE=∠DEA，得出DE=DA，再根據(jù)EC=DC-DE即可求得．
（2）將△CDF平移到△ABH的位置，將△ADG順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AHI的位置，證明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，即可．

解答：（1）解：∵在?ABCD中，AB=DC=2，∠C=60°，DF⊥BC，
∴DF=DC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵DF=AD．
∴AD=DF=

3

，
∵AB∥CD AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=∠AED，
∴AD=DE=

3

∴EC=DC-DE=2-

3

．

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射線DA方向平移，平移距離為AD，則DC與AB重合，記平移后的三角形為△ABH，則∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三點共線，
∴BF+HB=BF+FC，
∴FH=BC=AD=DF=AH．
∴四邊形AHFD為正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三點共線．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+FC，
∴CD=AB=DG+FC．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判斷，用平移，旋轉(zhuǎn)的方法證明問題的能力．