Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=8．點P是AB上一個動點，則PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,直角梯形

專題：

分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PC，PD的值，從而找出其最小值求解．

解答：解：延長CB到E，使EB=CB=8，連接DE交AB于P．則DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=4：8=1：2，
∴PB=2AP，
∵AP+BP=AB=5，
∴AP=

5

3

，BP=

10

3

，
∴PD=

AD2+AP2

=

13

3

，PE=

26

3

，
∴DE=PD+PE=

13

3

+

26

3

=13，
∴PC+PD的最小值是13，
故答案為：13．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的運用及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題時要注意找到對稱點，并根據(jù)“兩點之間線段最短”確定P點的位置是解答此題的關鍵．