已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．

求證：（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），△AOE∽△COF；

（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

 

【答案】

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；

（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．

試題解析：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；

（2）連接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定；2．菱形的判定．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，且AD=a，BC=b．
（1）如果點(diǎn)E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，如圖．求證：EF∥BC，且EF=
a+b
2
；
（2）如果
AE
EB
=
DF
EC
=
m
n
，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數(shù)式表示EF．請證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F(xiàn)分別是AB和BC邊上的點(diǎn)．
（1）如圖①，以EF為對稱軸翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面積S梯形ABCD的值；
（2）如圖②，連接EF并延長與DC的延長線交于點(diǎn)G，如果FG=k•EF（k為正數(shù)），試猜想BE與CG有何數(shù)量關(guān)系寫出你的結(jié)論并證明之．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，點(diǎn)E在AB上，且AE：EB=2：3，過點(diǎn)E作EF∥BC交CD于F，求EF的長？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=3.5，sinB=
45
，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE=3，點(diǎn)P是BC邊上的一動點(diǎn)，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射線PF與AD邊交于點(diǎn)F，與CD的延長線交于點(diǎn)G，設(shè)BP=x，DF=y．
（1）求BC的長；
（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）連接EF，如果△PEF是等腰三角形，試求BP的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是BC和DC的中點(diǎn)，連接AE、EF和BD，AE和BD相交于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFDG是菱形．

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