Question

【題目】（1）閱讀理解：

如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．

解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE（或?qū)?/span>△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．中線(xiàn)AD的取值范圍是 ；

（2）問(wèn)題解決：

如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；

（3）問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線(xiàn)段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)2＜AD＜8；(2)證明詳見(jiàn)解析；(3)BE+DF=EF；理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；

（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；

（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，證出∠NBC=∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，證出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖①所示：

∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE=AC=6，

在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案為：2＜AD＜8；

（2）證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示：

同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM=CF，

∵DE⊥DF，DM=DF，

∴EM=EF，

在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF；

（3）解：BE+DF=EF；理由如下：

延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，如圖3所示：

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，

∴∠NBC=∠D，

在△NBC和△FDC中，

BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，

∴∠BCE+∠FCD=70°，

∴∠ECN=70°=∠ECF，

在△NCE和△FCE中，

CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN=EF，

∵BE+BN=EN，

∴BE+DF=EF．