Question

5．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，AC、BD交于點O．過O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F．
（1）求證：AE=CF；
（2）求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出OA=OC，AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出對應邊相等即可；
（2連接EC，根據矩形性質得出AD=BC=5，∠ADC=90°，CD=AB=3，OA=OC，根據線段垂直平分線性質得出AE=CE，在△EDC中，根據勾股定理得出方程，求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）解：連接EC，如圖所示；
∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴AD=BC=5，∠ADC=90°，CD=AB=3，OA=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE是線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
設AE=CE=a，則DE=5-a，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE²=DE²+CD²，
即a²=（5-a）²+3²，
a=3.4，
即AE=3.4，
故答案為：3.4．

點評 本題考查了矩形性質，勾股定理，線段垂直平分線性質等知識點，用了方程思想，題目比較典型，是一道比較好的題目．