Question

如圖，在銳角△ABC中，AB是最短邊；以AB中點O為圓心，

1

2

AB長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、BD．
（1）若⊙O的半徑為6.5，BE=5，求DG的長；
（2）若

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，求

EF

AD

的比值；
（3）試判斷∠ADO 與∠B+∠BAD的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）主要是根據(jù)OD∥BC，而O是AB中點，利用平行線分線段成比例定理可證AG=GE，于是可知OG是△ABE的中位線，利用中位線定理可求OG，進而可求DG；
（2）據(jù)圖可知△AOD和△BOD等底同高，于是可知S_△AOD=S_△BOD，結(jié)合

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，易得S_△BEF：S_△ABD=1：6，而OD∥BC，OS=OD，易證∠2=∠3，又知∠ADB=∠FEB=90°，于是可證△BEF∽△BDA，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得（

EF

AD

）²=

1

6

，從而易求

EF

AD

；
（3）由于OA=OD，可知∠ADO=∠BAD，從而易知∠BAD＜∠BAD+∠B，即∠ADO＜∠BAD+∠B．

解答：解：（1）∵⊙O的半徑是6.5，
∴AB=13，
∵OD∥BC，
∴OA：OB=AG：GE，
∵O是AB中點，
∴AG=GE，
∴OG是△ABE的中位線，
∴OG=

1

2

BE=2.5，
∵OD=6.5，
∴DG=6.5-2.5=4；
（2）∵OA=OB，
∴S_△AOD=S_△BOD，
∴S_△ABD=2S_△BOD，
∵

S△BEF

S△OBD

=

1

3

，
∴S_△BEF：S_△ABD=1：6，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
又∵∠ADB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BDA，
∴S_△BEF：S_△BDA=（

EF

AD

）²，
∴（

EF

AD

）²=

1

6

，
∴

EF

AD

=

6

6

；
（3）∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD，
∴∠BAD＜∠BAD+∠B，
即∠ADO＜∠BAD+∠B．

點評：本題是圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是使用三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，并證明OG是△ABE的中位線，以及△BEF∽△BDA．