Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形中，點E在BC邊上，連接AE．O為AE中點，連接BO并延長交AD于F．

（1）求證：△AOF≌△BOE，

（2）判斷當AE平分∠BAD時，四邊形ABEF是什么特殊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）求證：見解析；（2）四邊形ABEF是菱形，見解析.

【解析】

(1)先利用平行四邊形的性質得AD∥BC，則∠AFB＝∠CBF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△AOF≌△BOE；

(2)利用△AOF≌△BOE得到FO＝BO，則可根據(jù)對角線互相平分可判定四邊形ABEF是平行四邊形，根據(jù)AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠FAE，又∠FAE＝∠AEB，得∠BAE＝∠AEB，AB＝BE，有一組對邊相等的平行四邊形是菱形，得四邊形ABEF是菱形．

(1)∵O為AE中點，

∴AO＝EO，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF，

在△AOF和△BOE中

，

∴△AOF≌△BOE；

(2)四邊形ABEF是菱形，理由如下：

∵△AOF≌△BOE，

∴FO＝BO，

而AO＝EO，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠FAE，

∵∠FAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形．