Question

證明：存在無窮多對正整數(shù)（m，n），滿足方程m²+25n²=10mn+7（m+n）．

Answer 1

分析：可把所給方程寫成一個完全平方式等于一個代數(shù)式的形式，根據(jù)完全平方式的結果進行假設，證明即可．

解答：證明：原方程可寫為（m-5n）²=7（m+n），
所以可設m+n=7x²（x是正整數(shù)），①
m-5n=7x．②
①-②得6n=7x（x-1）．
令x=6y（y是任意正整數(shù)），則n=42y²-7y．
∴m=7×36y²-（42y²-7y）=210y²+7y．
∴存在無窮多對正整數(shù)（m，n）=（210y²+7y，42y²-7y）（其中y是任意正整數(shù)）滿足題設方程．

點評：考查二次方程的解的有關證明；把所給方程整理為完全平方式的形式是解決本題的突破點．