Question

如圖，正△ABC外接圓的半徑為R，求正△ABC的邊長，邊心距，周長和面積．

Answer 1

解：連接OB，OA，延長AO交BC于D，
∵正△ABC外接圓是⊙O，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=∠ABC=×60°=30°，
即邊心距OD=OB=R，
由勾股定理得：BD==R，
即三角形邊長為BC=2BD=R，AD=AO+OD=R+R=R，
則△ABC的周長是3BC=3×R=3R；
則△ABC的面積是BC×AD=×R×R=R²．
分析：連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據等邊三角形性質得出AD⊥BC，BD=CD=BC，∠OBD=30°，求出OD，根據勾股定理求出BD，即可求出BC，BC的三倍即為周長，根據三角形的面積公式求出即可．
點評：本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是能正確作輔助線后求出BD的長，題目具有一定的代表性，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．